4301: 2023CSP_J 一元二次方程(uqe)

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Description

【题目背景】

一元二次方程(uqe)

众所周知，对一元二次方程 ax2 + bx + c = 0, (a ̸= 0)，可以用下述方式求实数解: • 计算 ∆ = b2 − 4ac，则:

1. 若 ∆ < 0，则该一元二次方程无实数解;
2. 否则 ∆ ≥ 0，此时该一元二次方程有两个实数解 x1,2 = −b± ∆ ;

解互异。

例如:
• x2 +x+1=0无实数解，因为∆=12 −4×1×1=−3<0; • x2 −2x+1 = 0有两相等实数解x1,2 = 1;
• x2 −3x+2 = 0有两互异实数解x1 = 1,x2 = 2;

在题面描述中 a 和 b 的最大公因数使用 gcd(a, b) 表示。例如 12 和 18 的最大公因 数是 6，即 gcd(12, 18) = 6。


【题目描述】

现在给定一个一元二次方程的系数 a, b, c，其中 a, b, c 均. 为. 整. 数. 且. a ̸= 0。你需要判 断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在.本.题.中.输.出.有.理.数. v 时.须.遵.循.以.下.规.则.:

  • 由有理数的定义，存在唯. 一. 的两个整数 p 和 q，满足 q > 0，gcd(p, q) = 1 且

    v = pq 。

  • 若. q = 1，则. 输. 出. {p};否. 则. 输. 出. {p}/{q};其中 {n} 代表整数 n 的值;

  • 例如:

    – 当 v = −0.5 时，p 和 q 的值分别为 −1 和 2，则应输出 ‐1/2; – 当 v = 0 时，p 和 q 的值分别为 0 和 1，则应输出 0。

对. 于. 方. 程.的.求.解.，分.两.种.情.况. 讨. 论.:

  1. 若 ∆ = b2 − 4ac < 0，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO;

  2. 否则 ∆ ≥ 0，此时方程有两解(可能相等)，记其中较. 大. 者. 为 x，则:

    (1). 若 x 为有理数，则按有理数的格式输出 x。 (2).否则根据上文公式，x可以被唯.一.表示为x=q +q√r的形式，其中:

    • q1,q2为有理数，且q2 >0;
    • r为正整数且r>1，且不存在正整数d>1使d2|r(即r不应是d2的倍数);

此时:

1. 若 q1 ̸= 0，则按照有理数的格式输出 q1，并再输出一个加号 +; 2. 否则跳过这一步输出;

随后:

1. 若 q2 = 1，则输出 sqrt({r});

2. 否则若 q2 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r});

3. 否则若 q3 = 1 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}; q2

4.否则可以证明存在唯一整数c,d满足c,d>1,gcd(c,d)=1且q2 =dc，此时 输出 {c}*sqrt({r})/{d};

上述表示中 {n} 代表整数 n 的值，详见样例。 如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

Input

输入的第一行包含两个正整数 T , M ，分别表示方程数和系数绝对值的上界; 

接下来 T 行，每行包含三个整数 a, b, c。

Output

输出 T 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。 

每. 行. 输. 出.的.字.符. 串. 中.间.不.应.包. 含. 任.何.空.格.。

Sample Input Copy 

9 1000
1 ‐1 0
‐1 ‐1 ‐1
1 ‐2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 ‐432 
1 ‐3 1
2 ‐4 1
1 7 1

Sample Output Copy 

1
NO
1
‐1
‐1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
‐7/2+3*sqrt(5)/2

HINT

对于所有测试数据有:1 ≤ T ≤ 5000，1 ≤ M ≤ 103，|a|, |b|, |c| ≤ M，a ̸= 0。

测试点编号

M ≤

特殊性质A

特殊性质B

特殊性质C

1 1 是 是 是
2 20 否 否 否
3 103 是 否 是
4 103
 是 否 否
5 103
 否 是 是
6 103
 否 是 否
7，8 103
 否 否 是
9，10 103
 否 否 否

其中:
• 特殊性质A:保证b = 0;
• 特殊性质B:保证c = 0;
• 特殊性质 C:如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

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